Основы Римановой геометрии

Риманова геометрия изучает искривленные пространства, такие, например, как поверхность сферы и т.д. Прежде всего введем некоторые математические объекты в таких пространствах. Рассмотрим такое преобразование координат:
yⁱ=yⁱ(x¹,...,xⁿ)
Если координаты какого-либо вектора A при этом изменяются как дифференциал, то есть
dxⁱ=(dxⁱ/dy^k)*dy^k  (по двойным индексам подразумевается суммирование)
или A_xⁱ=(dxⁱ/dy^k)*A_y^k для вектора A,
этот вектор A обозначается как контравариантный вектор. Если же координаты вектора при таком преобразовании A изменяются как компоненты градиента, то есть
df/dxⁱ=(dy^k/dxⁱ)*(df/dy^k)
или A^x_i=(dxⁱ/dy^k)*A^y_k для вектора A,
этот вектор A обозначается как ковариантный вектор.

Тензор формально может быть записан в виде матрицы, компоненты которой C_ij есть перемноженные компоненты двух векторов:
C_ij=A_i*B_j
Итак, контравариантный тензор A^ij с двумя верхними, или контравариантными, индексами, есть результат умножения некоторых двух контравариантных векторов, ковариантный тензор A_ij с двумя нижними, или ковариантными, индексами, есть результат умножения некоторых двух ковариантных векторов, смешанный тензор A_i^j с двумя разными индексами - результат умножения ковариантного и контравариантного векторов. Тензор с n контравариантными і m ковариантными индексами A^i1..in_j1..jm может быть определен как умножение n контравариантных і m ковариантных векторов.

В Римановой геометрии на правило суммирования Эйнштейна накладываются ограничения: суммировать можно лишь по одному ковариантному и одному контравариантному индексам. Например:
(A*B)=Aⁱ*B_i
есть скалярное умножение векторов A і B. Важно, что координаты всегда контравариантны, а операция дифференцирования добавляет один ковариантный индекс.

Наиболее важный объект в Римановой геометрии - метрический тензор g_ij: расстояние между двумя бесконечно близкими точками определяется по квадратичной форме:
ds²=g_ijdxⁱdx^j
Тензор g_ij симметричен:
g_ij = g_ji
Контравариантный тензор g^ij определяется с помощью такого равенства:
g^ikg_kj=Eⁱ_j,
где Eⁱ_j - единичная матрица (символ Кронекера). Элемент обьема находиться как:
dV=(g^1/2)*dx¹..dxⁿ
где (g^1/2) - квадратный корень из определителя матрицы элементов g_ij.

С помощью тензоров g^ij и g_ij можно поднимать и опускать индексы. Например:
A_i=g_ijA^j
A^ij=g^ikg^jlA_kl
Скалярное умножение можно записать в таком виде:
(A*B)=AⁱB^jg_ij

В Римановой геометрии по-новому определяется операция дифференцирования. Компоненты векторов и тензоров изменяются при парралельных переносах, потому что пространство нелинейно. Поэтому обобщенная производная может быть записана как:
DAⁱ/dx^l=dAⁱ/dx^l + Cⁱ_klA^k
где Cⁱ_kl - некоторый набор чисел, зависящих от координат. Этот объект, который, как будет показано далее, не является тензором, обычно называется коэффициентом связности или символом Кристоффеля. Взятие производной вектора Aⁱ по координате x^j обозначается как:
DAⁱ/dx^j=Aⁱ_;j
Например, производная тензора с двумя ковариантными индексами:
A_ik;l=dA_ik/dx^l - C^m_ilA_mk - C^m_klA_im
Определенная таким образом производная обладает всеми свойствами обычной алгебраической производной:
(A_iB_k)_;l=A_iB_k;l + A_i;lB_k
Докажем, что обобщеннная производная от метрического тензора равна нулю. Дифференциал DA_i есть вектор, поэтому:
DA_i=g_ikDA^k, но
A_i=g_ikA^k, и поэтому
DA_i=D(g_ikA^k)=g_ikDA^k + A^kDg_ik
Сравнивая первое и последнее, приходим к выводу, что Dg_ik=0. Итак, метрический тензор в Римановой геометрии есть константа, несмотря на то, что его компоненты зависят от координат! Что бы выразить Cⁱ_kl через компоненты метрического тензора, возьмем от метрического тензора производную по описанным выше правилам и приравняем ее к нулю:
g_ik;l=dg_ik/dx^l - g_mkC^m_il - g_imC^m_kl = dg_ik/dx^l - C_k,il - C_i,kl = 0
dg_ik/dx^l=C_k,il + C_i,kl где Cⁱ_kl=g^imC_m,kl
Наконец, меняя местами индексы и складывая полученные равенства, получим для Cⁱ_kl:
Cⁱ_kl=g^im(dg_mk/dx^l + dg_ml/dx^k - dg_kl/dx^m)/2
Cⁱ_kl преобразуется при переходе к новым координатам как:
C^i x_kl = C^m y_np(dxⁱ/dy^m)(dyⁿ/dx^k)(dy^p/dx^l) + (d²y^m/dx^kdx^l)(dxⁱ/dy^m)
Из этого сразу следует, что Cⁱ_kl не тензор. Cⁱ_kl симметричны относительно двух нижних индексов: Cⁱ_kl = Cⁱ_lk

Некоторые полезные выражения в Римановом пространстве:

• Дивергенция: Aⁱ_;i=(g^-1/2)d(g^1/2*Aⁱ)/dxⁱ
• Оператор Лапласа (Лапласиан): f^;i_;i=(g^-1/2)d(g^1/2*g^ikdf/dx^k)/dxⁱ
  

Определим кривизну Риманова пространства. Рассмотрим парралельный перенос вектора A_i вдоль бесконечно малого контура и определим, как он изменяется. Применим теорему Стокса (см. ротор). Наконец
dA_k=((dCⁱ_km/dx^l)A_i - (dCⁱ_kl/dx^m)A_i + Cⁱ_km(dA_i/dx^l) - Cⁱ_kl(dA_i/dx^m))*dS^lm/2
где dS^lm - площадь контура. Это равенство может быть записано как:
dA_k=Rⁱ_klmA_idS^lm,
где Rⁱ_klm - тензор кривизны:
Rⁱ_klm=dCⁱ_km/dx^l - dCⁱ_kl/dx^m + Cⁱ_nlCⁿ_km - Cⁱ_nmCⁿ_kl
Определить тензор кривизны Rⁱ_klm можно и так:
A_i;k;l - A_i;l;k = A_mR^m_ikl
Некоторые свойства тензора кривизны:

• Rⁱ_klm=-Rⁱ_kml
• Rⁱ_klm + Rⁱ_mkl + Rⁱ_lmk = 0
• Rⁿ_ikl;m + Rⁿ_imk;l + Rⁿ_ilm;k = 0

Из тензора кривизны с четырьмя индексами можно образовать упрощенный тензор кривизны с двумя индексами:
R_ik=R^l_ilk
Непосредственное выражение для R_ik:
R_ik=dC^l_ik/dx^l - dC^l_il/dx^k + C^l_ikC^m_lm - C^m_ilC^l_km
Упрощенный тензор кривизны симметричен:
R_ik=R_ki.
Наконец, скалярная кривизна пространства определяется как:
R=g^ijR_ij.

Модуль Delphi Riemann.pas, создан специально для анализа свойств Риманового пространства. Все, что надо сделать - определить метрические тензоры g_ij и g^ij в функциях MetricDown и MetricUp, а также размерность пространства N. Если аналитическое вычисление обратной матрицы затруднено, можно использовать модуль Matrix.pas