Основы матричной и векторной алгебры

Дифференциальные уравнения и разложения по функциям

Основные математические операции над векторами и матрицами

Сложение и вычитание векторов и матриц - просто сложение и вычитание соответствующих элементов. Умножение векторов имеет два определения: Векторное умножение, где результат - вектор, и скалярное, где результат - число. Скалярное умножение тесно связано с понятием базиса в пространстве, его результат - проекция одного вектора на другой. Оно задается простым правилом:

Здесь принято стандартное правило: по повторяющемуся индексу подразумеваетсь суммирование

В трехмерном пространстве векторное умножение требует два вектора, но в N-мерном пространстве необходимо N-1 векторов, чтобы определить векторное умножение. Скалярное же умножение требует всегда 2 вектора.

Наиболее общий вид линейной зависимости между векторами:

Это называется умножением вектора на матрицу. Такое умножение можно рассматривать как преобразование вектора к другому базису, причем компоненты матрицы - попарные скалярные умножения каждого вектора старого базиса на каждый вектор нового:

Матрица называется символом Кронекера, или единичной матрицей. Очевидно, что
A_iE_ij = A_j

Чтобы преобразовать вектор сначала к одному базису, а затем к другому, необходимо умножить этот вектор на матрицы этих двух преобразований. Результат можно рассматривать как умножение исходног вектора на одну матрицу, являющуюся умножением двух матриц преобразований: C_ij = A_ikB_ljE_kl
или C = A*B

Матрица B_ij = A_ji называется транспонированной к A.

Модуль, содержащий основные операции над векторами и матрицами Matrix.pas.

Детерминанты, обратные матрицы и деление на матрицу.

В трехмерном пространстве площадь паралеллограмма между двумя векторами определяется векторным умножением:
S = [A,B]
и обьем паралеллепипеда между тремя векторами - как скалярное умножение вектора площади S на третий вектор: V = C*S, or

В N-мерном пространстве "N-мерный обьем" фигуры между N векторами вычисляется как детерминант (определитель):

Определение детерминанта рекуррентно: детерминант матрицы есть сумма по всем i произведений i-го элемента первой строки на определитель исходной матрицы без первой строки и i-го столбца, со знаком, изменяемым на каждом следующем столбце.

Некоторые свойства детерминанта:

• Детерминант не изменяется при транспонировании
• Детерминант изменяет знак
• det(A*B) = det(A)*det(B)
• det(A^-1) = det(A)^-1
• Когда базис, задаваемый матрицей А, неполный, det(A)=0

Найдем матрицу A^-1 такую, что AA^-1=1 Матрица A^-1 задается формулой:
A_ij^-1 = S_ij /det(A) где S_ij - алгебраическое дополнение [i,j]-го элемента - детерминант исходной матрицы без i-ой строки и j-го столбца и со знаком, меняющимся при переходе на каждый следующий столбец. Матрица A^-1 называется обратной матрицей. Умножение AB^-1 называется делением A на B. Умножение и деление матриц - умножение и деление преобразований. Например, если исходный вектор переведен в некий базис умножением на матрицу A, обратное преобразование задается матрицей A^-1.

Пример вычисления детерминанта Determinant.pas и модуль, содержащий основные операции над векторами и матрицами Matrix.pas.

Применеие матричной алгебры в 3D-моделировании

Наиболее сложные задачи построения трехмерных изображений - вращения и моделирование освещения.

Наиболее просто вращения задаются в сферической системе координат. Вращение сцены производится в несколько шагов:

1. Вращение базиса в сферической системе координат
2. Преобразование всех векторов нового базиса в декартову систему координат:
   x = R*cos(v)*cos(h)
   y = R*cos(v)*sin(h)
   z = R*sin(v)
   где v и h - вертикальная и горизонтальная угловые координаты.
3. Составление матрицы перехода в новый базис.
4. Умножение векторов всех точек сцены на эту матрицу
5. Перерисовка сцены

Моделирование освещения основывается на зависимости между интенсивностями падающего и отраженного света:
I(a) = I₀*cos(a), или, используя векторы I = L*n,
где a - угол между поверхностью и лучом света, L - "вектор света"
и n - вектор единичной длины, перпендикулярный к поверхности.

Каждый трехмерный обьект может быть представлен в виде набора многоугольников (положим для простоты, что это - треугольники). Допустим, что заданы координаты всех точек многоугольников. Тогда освещение моделируется с помощью такого алгоритма:

1. Получение векторов сторон каждого треугольника
2. Получение вектора, перпендикулярного к данному элементу поверхности, с помощью векторного умножения сторон треугольника
3. Длина этого вектора делается единичной - таким образом мы получаем вектор единичной длины, перпендикулярный к поверхности (n).
4. Скалярным умножением n на вектор света (его направление - направление световых лучей и его длина пропорциональна интенсивности света) получаем интенсивность отраженного света.

RGB-компоненты цвета треугольника пропорциональны интенсивности отраженного света.

Многомерные дифференциальные уравнения и преобразования полей

Сначала - векторные дифференциальные операторы:

• grad (градиент) - направление и величина наибыстрейшего возрастания функции
• div (дивергенция)- поток вектора через очень маленькую оболочку, разделенный на ее обьем (например, поток вектора скорсти жидкости имеет ясный физический смысл)
• rot (ротор) - циркуляция вектора по очень маленькому контуру, разделенная на его площадь

• div(fA) = f*div(A) + A*grad(f)
• rot(fA) = f*rot(A) - [grad(f),A]
• div([A,B]) = B*rot(A) - A*rot(B)
• rot(grad(f)) = 0
• div(rot(A)) = 0
• grad(a*b) = a*grad(b) + b*grad(a)

Уравнения Лапласа и Д'Aламбера

Наиболее распространено уравнение Лапласа (или уравнеие Пуассона как более общий тип уравнений). Это уравнения таких полей:

• электростатического поля
• стационарного поля температуры
• поля давления
• поле "потенциала скорости" в гидродинамике
• и многих других, где div(grad(f))=g(x,y,z)

Уравнение Д'Aламбера - уравнение для бегущих волн, очень похожее на уравнение Лапласа, и его можно решать как уравнение Лапласа в комплексном пространстве Минковского или аппроксимируя среду набором дискретных элементов, движущихся согласно законам Ньютона.

От матриц и векторов к многомерным функциям,
от разложения по базису к разложению Фурье

Все методы матричной алгебры элементарно обобщаются на функции.
"Скалярное умножение" функций:
"Умножение вектора на матрицу":
Базисная функция ортогональна если
Как видно, разложение Фурье - только преобразование функции как "вектора" к другому базису. Сейчас разложение Фурье почти очевидно:

Можно доказать, что "базисная функция" f(w,t) = e^iwt ортогональна.

     English  Беларуская  Русский