Базавыя канцэпцыі Рыманавай геаметрыі

Рыманава геаметрыя вывучае ўласьцівасьці скрыўленай прасторы, напрыклад, як паверхня сферы і д.т.п. Перш за ўсё вызначым некаторыя аб'екты ў такой прасторы. Разгледзім такую замену каардынатаў:
yⁱ=yⁱ(x¹,...,xⁿ)
Калі каардынаты нейкага вектара A змяняюцца пры гэтым як дыфферэнцыял, г.зн.
dxⁱ=(dxⁱ/dy^k)*dy^k  (падвоенымі індэксамі пазначаецца сумма)
гэта ёсьць A_xⁱ=(dxⁱ/dy^k)*A_y^k для вектара A,
гэты вектар A вызначаецца як кантраварыянтны вектар. Калі ж каардынаты вектара A змяняюцца як кампаненты градыента, г.зн.
df/dxⁱ=(dy^k/dxⁱ)*(df/dy^k)
гэта ёсьць A^x_i=(dxⁱ/dy^k)*A^y_k для вектара A,
гэты вектар A вызначаецца як каварыянтны вектар.

Тэнзар можна фармальна запісаць як матрыцу, кампаненты якой C_ij ёсьць памножаньнем кампанентаў нейкіх дзьвюх вектароў:
C_ij=A_i*B_j
Такім чынам, контраварыянтны тэнзар A^ij з дзьвюма індэксамі ёсьць памножаньнем дзьвух контраварыянтных вектароў, каварыянтны тэнзар A_ij зь дзвума індэксамі ёсьць памножаньнем дзьвух каварыянтных вектароў, зьмяшаны тэнзар зь дзьвума індэксамі A_i^j ёсьць памножаньнем каварыянтнага і контраварыянтнага вектароў. Тэнзар зь n контраварыянтнымі і m каварыянтнымі індэксамі A^i1..in_j1..jm можа быць вызначаны як памножаньне n контраварыянтных і m каварыянтных вектароў.

У Рыманавай геаметрыі пагадненьне аб складаньні Эйнштэйна абмяжоўваецца: браць сумму можна толькі па аднолькавым каварыянтнаму і контраварыянтнаму індэксам. Напрыклад:
(A*B)=Aⁱ*B_i
ёсьць скалярным памножаньнем вектароў A і B. Трэба заўважыць, што каардынаты заўсёды контраварыянтныя, і ўзяцьце вытворнай дадае да тэнзара адзін каварыянтны індэкс.

Найбольш важкім аб'ектам у Рыманавай геаметрыі ёсьць метрычны тэнзар g_ij: адлегласьць паміж дзьвума бясконца блізкімі кропкамі прасторы вызначаецца як:
ds²=g_ijdxⁱdx^j
Тэнзар g_ij сімметрычны:
g_ij = g_ji
Контраварыянтны тэнзар g^ij вызначаецца з дапамогай такой роўнасьці:
g^ikg_kj=Eⁱ_j,
дзе Eⁱ_j ёсьць адзінкавай матрыцай альбо сымвалем Кранекера. Элемент аб'ема вызначаецца як:
dV=(g^1/2)*dx¹..dxⁿ
дзе (g^1/2) ёсьць квадратным коранем з дэтэрмінанта матрыцы g_ij.

З дапамогай тэнзароў g^ij ды g_ij можна падымаць і зніжаць індэксы. Напрыклад:
A_i=g_ijA^j
A^ij=g^ikg^jlA_kl
Скалярнае памножаньне можна запісаць такім чынам:
(A*B)=AⁱB^jg_ij

Найцікавым у Рыманавай геаметрыі ёсьць узяцьце вытворнай ад розных матэматычных аб'ектаў. Кампаненты вектароў ды тэнзароў у Рыманавай прасторы змяняюцца падчас паралельных пераносаў, таму што прасторы ня ўласьцівая лінейнасьць. Таму абагульненая вытворная можа быць запісана як:
DAⁱ/dx^l=dAⁱ/dx^l + Cⁱ_klA^k
дзе Cⁱ_kl - нейкі набор лікаў, што залежаць ад каардынат. Гэты аб'ект, што, як будзе бачна надалей, ня ёсьць тэнзарам, звычайна завецца каэфіцыентам сувязі альбо сымвалем Крыстофеля. Ўзяцьце вытворнай вектара Aⁱ па каардынаце x^j пазначаецца як:
DAⁱ/dx^j=Aⁱ_;j
Вытворная тэнзара зь дзьвума індэксамі ёсьць:
A_ik;l=dA_ik/dx^l - C^m_ilA_mk - C^m_klA_im
Вызначаная такім чынам вытворная мае ўсе ўласьцівасьці звычайнай альгэбраічнай вытворнай:
(A_iB_k)_;l=A_iB_k;l + A_i;lB_k
Спраўдзім, што абагульнены дыфферэнцыял метрычнага тэнзара ёсьць нулём. Дыфферэнцыял DA_i ёсьць вектарам, таму:
DA_i=g_ikDA^k, але
A_i=g_ikA^k, і таму
DA_i=D(g_ikA^k)=g_ikDA^k + A^kDg_ik
Параўноўваючы першае і апошняе, прыходзім да непазьбежнай высновы, што Dg_ik=0. Такім чынам, метрычны тэнзар у Рыманавай геаметрыі ёсьць канстантай, нягледзячы на тое, што ягоныя кампаненты залежаць ад каардынатаў! Каб выразіць Cⁱ_kl праз кампненты метрычнага тэнзара, возьмем вытворную ад яго як ад звычайнага тэнзара і пакладзем яе роўнай нулю:
g_ik;l=dg_ik/dx^l - g_mkC^m_il - g_imC^m_kl = dg_ik/dx^l - C_k,il - C_i,kl = 0
dg_ik/dx^l=C_k,il + C_i,kl дзе Cⁱ_kl=g^imC_m,kl
Напрыканцы, пасьля перамены індэксаў і складаньня роўнасьцяў, атрымліваем такую формулу для Cⁱ_kl:
Cⁱ_kl=g^im(dg_mk/dx^l + dg_ml/dx^k - dg_kl/dx^m)/2
Таксам карысная формула для змяненьня Cⁱ_kl у розных каардынатах:
C^i x_kl = C^m y_np(dxⁱ/dy^m)(dyⁿ/dx^k)(dy^p/dx^l) + (d²y^m/dx^kdx^l)(dxⁱ/dy^m)
Зараз цалкам зразумела, што Cⁱ_kl ня ёсьць тэнзарам. Cⁱ_kl сімметрычныя адносна дзьвух ніжэйшых індэксаў:Cⁱ_kl = Cⁱ_lk

Некаторыя карысныя формулы для Рыманавай прасторы:

• Дывергенцыя: Aⁱ_;i=(g^-1/2)d(g^1/2*Aⁱ)/dxⁱ
• Апэратар Ляпляса (Ляплясіян): f^;i_;i=(g^-1/2)d(g^1/2*g^ikdf/dx^k)/dxⁱ
  

Вызначым крывізну Рыманавай прасторы. Разгледзім паралельны перанос нейкага вектара A_i уздоўж бясконца малога контура і вынайдзем, як ён зьмяняецца. Потым успомнім тэарэму Стокса (гл ротар). Нарэшце
dA_k=((dCⁱ_km/dx^l)A_i - (dCⁱ_kl/dx^m)A_i + Cⁱ_km(dA_i/dx^l) - Cⁱ_kl(dA_i/dx^m))*dS^lm/2
дзе dS^lm - плошча контура. Гэтая роўнасьць можа быць запісаная як:
dA_k=Rⁱ_klmA_idS^lm,
дзе Rⁱ_klm ёсьць тэнзарам крывізны:
Rⁱ_klm=dCⁱ_km/dx^l - dCⁱ_kl/dx^m + Cⁱ_nlCⁿ_km - Cⁱ_nmCⁿ_kl
Вызначыць тэнзар крывізны Rⁱ_klm можна и так:
A_i;k;l - A_i;l;k = A_mR^m_ikl
Некаторыя ўласьцівасьці тэнзара крывізны:

• Rⁱ_klm=-Rⁱ_kml
• Rⁱ_klm + Rⁱ_mkl + Rⁱ_lmk = 0
• Rⁿ_ikl;m + Rⁿ_imk;l + Rⁿ_ilm;k = 0

З тэнзара крывізны зь чатырма індэксамі можна атрымаць спрошчаны тэнзар крывізны зь дзьвума індэксамі:
R_ik=R^l_ilk
Непасрэдны выраз для R_ik:
R_ik=dC^l_ik/dx^l - dC^l_il/dx^k + C^l_ikC^m_lm - C^m_ilC^l_km
Спрошчаны тэнзар крывізны сімметрычны:
R_ik=R_ki.
І, нарэшце, скалярная крывізна прасторы вызначаецца як:
R=g^ijR_ij.

Вось модуль для Delphi Riemann.pas, створаны спецыяльна для аналіза ўласьцівасьцяў Рыманавай прасторы. Усе, што трэба зрабіць - вызначыць метрычныя тэнзары g_ij ды g^ij у функцыях MetricDown і MetricUp, а таксама размернасьць прасторы N. Калі цяжка вылічыць зваротную матрыцу, можна выкарыстаць модуль Matrix.pas