Статистика, процессы диффузии и Броуновское движение


Процессы диффузии и Броуновское движение

Рассмотрим Броуновское движение неких частиц в идеальном газе других частиц, предполагая, что концентрация первых не очень велика и мы можем рассматривать их движение как серию случайных смещений. Это значит, что для рассматриваемых частиц существенными можно считать только соударения с частицами второго типа, а пространственное распределение частиц второго типа можно считать равномерным. Из принятых условий следует, что все точки пространства одинаковы для рассматриваемых частиц. Значит, можно описать движение с известным начальным положением в терминах условной вероятности, учитывая все возможные пути перехода. (Статистические интегралы по траекториям)

Найдем, как средний квадрат перемещения частицы зависит от времени. (Очевидно, среднее от перемещения равно нулю из соображений симметрии):
r2 = еi,jrirj = еiri2 + е i j rirj
Но последняя сумма равна нулю, так как все перемещения статистически независимы. Окончательно:
<r2> = n*<D r2> = <D r2>*t /<D t>
Тут <D r2> - средняя длина свободного пробега и <D t> - среднее время между соударениями частиц разного типа. Для простоты запишем в таком виде:
<r2> = At
где A - некоторая константа.

Окончательно, интегральные условия для искомого пространственного распределения вероятностей Броуновских частиц:
p(r,t) = т...т p(D r0,D t0) p(D r1,D t1)... p(D rn,D tn) dr1dr2...drn-1
где
еi D ri = r - r0еi D ti = t - t0,
dr - элемент обьема и n - число учитываемых возможных путей перехода, стремящееся к бесконечности.

Будем искать решения в виде:
p(r) = B*Exp(C*(r - r0)2)
A и B могут быть получены из условия нормировки и полученного ранее равенства для среднего квадрата перемещения:
p(r) = (1/pAt)Exp(-r2/At)
И именно такие функции удовлетворяют нашим интегральным условиям! (Это легко проверяется вычислением только двух интегралов из бесконечной цепочки. Попробуйте вычислить:
т (1/pAD t1)Exp(-(r0 - r1)2/(AD t1)) (1/pAD t2)Exp(-(r1 - r2)2/(AD t2)) dr1)

Возможен другой подход к решению поставленной задачи. Уравнение диффузии для малых концентраций имеет вид:
nv = D*grad n
где n - концентрация, v - средняя скорость упорядоченного движения частиц газа и D - константа диффузии. Запишем уравнение неразрывности:
div nv + dn/dt = 0
В результате имеем, взяв дивергенцию от двух частей предыдущего равенства:
DDn + dn/dt = 0
Здесь D - оператор Лапласа. Функции вида
p(r) = (1/pAt)Exp(-r2/At)
есть функции Грина полученного уравнения - его решения с дельта-функциями в качестве начальных условий. В нашем случае все частицы в начальный момент времени находятся в начале координат, и их распределение задается дельта-функцией!

Модель Броуновского движения Brownian.zip


Теория протекания

Рассмотрим кристалл с дефектами. Допустим, что электрический ток не может проходить через дефект. Тогда при некоторой критической концентрации дефектов у кристалла полность исчезнет проводимость. Это значит, что исчезнут бесконечные кластеры проводящих узлов. Вблизи этой критической концентрации небольшие изменения концентрации ведут к огромным изменениям в проводимости. Существует еще один красивый эффект - вблизи критической концентрации кластеры проводящих узлов образуют фрактальные структуры. Для квадратной 2D сети критическая концентрация - 0.41, для кубической 3D сети - 0.69

Программы для исследования и наблюдения процессов протекания в 2D и 3D кристаллах, а также для обработки результатов экспериментов (определение критической концентрации см. Метод наименьших квадратов) Percol.zip


Процесс истечения газа в вакуум

Рассмотрим сосуд, заполненный идеальным газом. В сосуде есть небольшое отверстие, и газ вытекает из него довольно медленно. Определим, как температура газа изменяется во времени. Все параметры статистической системы могут быть определены при помощи некоторой функции распределения. Например, если искомый параметр - модуль скорости частицы, тогда число частиц со скоростями от v до v + dv есть:
dN = N*f(v)*dv
где N - общее число частиц в сосуде. Очевидно, что
тf(v)dv = 1
Функция f(v) изменяется со временем. Средняя скорость частиц газа есть:
<v> = тvf(v)dv
Средний квадрат скорости есть:
<v2> = тv2f(v)dv
Эту величину можно рассматривать как температуру газа, потому что кинетическая энергия частиц в классической механике пропорциональна квадрату скорости, и температура пропорциональна средней кинетической энергии частиц системы. Из-за отверстия количество частиц уменьшается, и изменение количества частиц со скоростями от v до v + dv во времени:
d(dN)/dt = - dN*S*v/(4*V)
где S - площадь отверстия и V - объем сосуда. Комбинируя все предыдущие уравнения, можно получить такое уравнение для f(v):
df(v)/dt = - A*f(v)*(v - <v>)
где A = V/(4*S). Очевидно, что число частиц с большими скоростями уменьшается быстрее, и максимум функции распределения f(v) смещается в направлении меньших скоростей. Средняя скорость и средний квадрат скорости (температура) тоже уменьшаются. Это довольно интересный статистический эффект - газ в сосуде остывает, но на его частицы не действуют никакие силы, которые могли бы изменить их энергию! Очевидно также, что наиболее распространенное распределение Максвелла не может быть решением полученного уравнения. В этом нет ничего удивительного, ведь распределение Максвелла - распределение для статических систем, к которым наша система не относится.

Программа, моделирующая процесс истечения газа в вакуум и вычисляющая температуру газа как функцию времени  Gas.zip


Энтропия

Энтропия - универсальная мера хаотичности статистической системы. Общее определение энтропии основано на функции распределения статистической системы, но не на равенстве dS = DQ/T, которое чаще всего используется для нахождения энтропии. Статистическое определение энтропии:
S = Si pi ln(1/pi)
где pi - вероятности статистически независимых событий 1..i. Это определение применимо как к "тепловым" явлениям, так и в теории кодирования информации. Интересно было бы провести такой эксперимент:

Помещаем компьютер в термостат. Заполняем жесткий диск случайными данными и вычисляем его энтропию, используя функцию распределения для значений байтов. Архивируем данные. Измеряем количество теплоты Q, выделившееся на процессоре и его температуру T. Снова вычисляем энтропию жесткого диска. Равно ли Q/T изменению энтропии винчестера? ;))) Наверное, это сильно зависит от частоты процессора :))))

Докажем наиболее часто используемые формулы для энтропии:
(i) dS = DQ/T
(ii) S = ln N
где DQ - бесконечно малое количество теплоты, T - термодинамическая температура, N - число микросостояний, посредством которых реализуется данное энергетическое состояние. Формула (i) - частный случай общей формулы в применении к равновесному распределению Гиббса. Для этого распределения
pi = A*Exp(-b*Ei)
где b = 1/(kT), Ei - энергия в состоянии i, A = 1/(Si Exp(-b*Ei))
Проведя математические выкладки, из рассматриваемого распределения и общей формулы для энтропии получаем:
dS = (<E2> - <E>2)b*db (*)
Все Ei рассматриваются как константы при дифференцировании. Согласно закону сохранения энергии:
d(<E>) = DQ(**)
Вычисляя d(<E>), получаем:
d(<E>) = (<E2> - <E>2)*db
Сравнивая полученное, (*) и (**), доказываем исходную формулу:
dS = DQ/T (постоянный множитель k не учитывается; он зависит только от выбора системы единиц).
Формула (ii) элементарно доказывается на основе эргодической гипотезы и теоремы Лиувилля. Согласно им, все микросостояния, посредством которых реализуется данное энергетическое состояние, равновероятны, поэтому:
pi = 1/N,   i=1..N
Очевидно, что
S = ln N (постоянный множитель, зависящий от системы единиц, также не учитывается)

Наконец, выведем ранее уже использованное распределение Гиббса. Значение энтропии достигает максимума в состоянии равновесия (а это наиболее вероятное состояние во всех физических явлениях). Будем варьировать все вероятности для нахождения положения экстремума с дополнительными условиями, следующими из определения вероятности и закона сохранения энергии:
dS = Si d(pi ln(1/pi)) = Si dpi ln(1/pi) + Si pi dpi/pi = Si dpi ln(1/pi) = 0
Sipi = 1 или Sidpi = 0
Si Ei pi = <E> = const или Si Ei dpi = 0
Используя метод Лагранжа для нахождения условного экстремума, находим:
Si (-ln pi + a*Ei + b)dpi = 0
где a, b - множители Лагранжа. Отсюда:
-ln pi = -a*Ei - b
pi = A1 Exp( - A2*Ei)
где A1, A2 - некоторые константы. Из наложенных условий следует:
A2 = 1/T (постоянный множитель как всегда опущен:))


©2002-2003, Veter      English  Беларуская  Русский
Сайт создан в системе uCoz