Статистика, процессы диффузии и Броуновское движение

Процессы диффузии и Броуновское движение

Рассмотрим Броуновское движение неких частиц в идеальном газе других частиц, предполагая, что концентрация первых не очень велика и мы можем рассматривать их движение как серию случайных смещений. Это значит, что для рассматриваемых частиц существенными можно считать только соударения с частицами второго типа, а пространственное распределение частиц второго типа можно считать равномерным. Из принятых условий следует, что все точки пространства одинаковы для рассматриваемых частиц. Значит, можно описать движение с известным начальным положением в терминах условной вероятности, учитывая все возможные пути перехода. (Статистические интегралы по траекториям)

Найдем, как средний квадрат перемещения частицы зависит от времени. (Очевидно, среднее от перемещения равно нулю из соображений симметрии):
r² = е_i,jr_ir_j = е_ir_i² + е _i№ j r_ir_j
Но последняя сумма равна нулю, так как все перемещения статистически независимы. Окончательно:
<r²> = n*<D r²> = <D r²>*t /<D t>
Тут <D r²> - средняя длина свободного пробега и <D t> - среднее время между соударениями частиц разного типа. Для простоты запишем в таком виде:
<r²> = At
где A - некоторая константа.

Окончательно, интегральные условия для искомого пространственного распределения вероятностей Броуновских частиц:
p(r,t) = т...т p(D r₀,D t₀) p(D r₁,D t₁)... p(D r_n,D t_n) dr₁dr₂...dr_n-1
где
е_i D r_i = r - r₀,  е_i D t_i = t - t₀,
dr - элемент обьема и n - число учитываемых возможных путей перехода, стремящееся к бесконечности.

Будем искать решения в виде:
p(r) = B*Exp(C*(r - r₀)²)
A и B могут быть получены из условия нормировки и полученного ранее равенства для среднего квадрата перемещения:
p(r) = (1/pAt)Exp(-r²/At)
И именно такие функции удовлетворяют нашим интегральным условиям! (Это легко проверяется вычислением только двух интегралов из бесконечной цепочки. Попробуйте вычислить:
т (1/pAD t₁)Exp(-(r₀ - r₁)²/(AD t₁)) (1/pAD t₂)Exp(-(r₁ - r₂)²/(AD t₂)) dr₁)

Возможен другой подход к решению поставленной задачи. Уравнение диффузии для малых концентраций имеет вид:
nv = D*grad n
где n - концентрация, v - средняя скорость упорядоченного движения частиц газа и D - константа диффузии. Запишем уравнение неразрывности:
div nv + dn/dt = 0
В результате имеем, взяв дивергенцию от двух частей предыдущего равенства:
DDn + dn/dt = 0
Здесь D - оператор Лапласа. Функции вида
p(r) = (1/pAt)Exp(-r²/At)
есть функции Грина полученного уравнения - его решения с дельта-функциями в качестве начальных условий. В нашем случае все частицы в начальный момент времени находятся в начале координат, и их распределение задается дельта-функцией!

Модель Броуновского движения Brownian.zip

Теория протекания

Рассмотрим кристалл с дефектами. Допустим, что электрический ток не может проходить через дефект. Тогда при некоторой критической концентрации дефектов у кристалла полность исчезнет проводимость. Это значит, что исчезнут бесконечные кластеры проводящих узлов. Вблизи этой критической концентрации небольшие изменения концентрации ведут к огромным изменениям в проводимости. Существует еще один красивый эффект - вблизи критической концентрации кластеры проводящих узлов образуют фрактальные структуры. Для квадратной 2D сети критическая концентрация - 0.41, для кубической 3D сети - 0.69

Программы для исследования и наблюдения процессов протекания в 2D и 3D кристаллах, а также для обработки результатов экспериментов (определение критической концентрации см. Метод наименьших квадратов) Percol.zip

Процесс истечения газа в вакуум

Рассмотрим сосуд, заполненный идеальным газом. В сосуде есть небольшое отверстие, и газ вытекает из него довольно медленно. Определим, как температура газа изменяется во времени. Все параметры статистической системы могут быть определены при помощи некоторой функции распределения. Например, если искомый параметр - модуль скорости частицы, тогда число частиц со скоростями от v до v + dv есть:
dN = N*f(v)*dv
где N - общее число частиц в сосуде. Очевидно, что
тf(v)dv = 1
Функция f(v) изменяется со временем. Средняя скорость частиц газа есть:
<v> = тvf(v)dv
Средний квадрат скорости есть:
<v²> = тv²f(v)dv
Эту величину можно рассматривать как температуру газа, потому что кинетическая энергия частиц в классической механике пропорциональна квадрату скорости, и температура пропорциональна средней кинетической энергии частиц системы. Из-за отверстия количество частиц уменьшается, и изменение количества частиц со скоростями от v до v + dv во времени:
d(dN)/dt = - dN*S*v/(4*V)
где S - площадь отверстия и V - объем сосуда. Комбинируя все предыдущие уравнения, можно получить такое уравнение для f(v):
df(v)/dt = - A*f(v)*(v - <v>)
где A = V/(4*S). Очевидно, что число частиц с большими скоростями уменьшается быстрее, и максимум функции распределения f(v) смещается в направлении меньших скоростей. Средняя скорость и средний квадрат скорости (температура) тоже уменьшаются. Это довольно интересный статистический эффект - газ в сосуде остывает, но на его частицы не действуют никакие силы, которые могли бы изменить их энергию! Очевидно также, что наиболее распространенное распределение Максвелла не может быть решением полученного уравнения. В этом нет ничего удивительного, ведь распределение Максвелла - распределение для статических систем, к которым наша система не относится.

Программа, моделирующая процесс истечения газа в вакуум и вычисляющая температуру газа как функцию времени  Gas.zip

Энтропия

Энтропия - универсальная мера хаотичности статистической системы. Общее определение энтропии основано на функции распределения статистической системы, но не на равенстве dS = DQ/T, которое чаще всего используется для нахождения энтропии. Статистическое определение энтропии:
S = S_i p_i ln(1/p_i)
где p_i - вероятности статистически независимых событий 1..i. Это определение применимо как к "тепловым" явлениям, так и в теории кодирования информации. Интересно было бы провести такой эксперимент:

Помещаем компьютер в термостат. Заполняем жесткий диск случайными данными и вычисляем его энтропию, используя функцию распределения для значений байтов. Архивируем данные. Измеряем количество теплоты Q, выделившееся на процессоре и его температуру T. Снова вычисляем энтропию жесткого диска. Равно ли Q/T изменению энтропии винчестера? ;))) Наверное, это сильно зависит от частоты процессора :))))

Докажем наиболее часто используемые формулы для энтропии:
(i) dS = DQ/T
(ii) S = ln N
где DQ - бесконечно малое количество теплоты, T - термодинамическая температура, N - число микросостояний, посредством которых реализуется данное энергетическое состояние. Формула (i) - частный случай общей формулы в применении к равновесному распределению Гиббса. Для этого распределения
p_i = A*Exp(-b*E_i)
где b = 1/(kT), E_i - энергия в состоянии i, A = 1/(S_i Exp(-b*E_i))
Проведя математические выкладки, из рассматриваемого распределения и общей формулы для энтропии получаем:
dS = (<E²> - <E>²)b*db (*)
Все E_i рассматриваются как константы при дифференцировании. Согласно закону сохранения энергии:
d(<E>) = DQ(**)
Вычисляя d(<E>), получаем:
d(<E>) = (<E²> - <E>²)*db
Сравнивая полученное, (*) и (**), доказываем исходную формулу:
dS = DQ/T (постоянный множитель k не учитывается; он зависит только от выбора системы единиц).
Формула (ii) элементарно доказывается на основе эргодической гипотезы и теоремы Лиувилля. Согласно им, все микросостояния, посредством которых реализуется данное энергетическое состояние, равновероятны, поэтому:
p_i = 1/N,   i=1..N
Очевидно, что
S = ln N (постоянный множитель, зависящий от системы единиц, также не учитывается)

Наконец, выведем ранее уже использованное распределение Гиббса. Значение энтропии достигает максимума в состоянии равновесия (а это наиболее вероятное состояние во всех физических явлениях). Будем варьировать все вероятности для нахождения положения экстремума с дополнительными условиями, следующими из определения вероятности и закона сохранения энергии:
dS = S_i d(p_i ln(1/p_i)) = S_i dp_i ln(1/p_i) + S_i p_i dp_i/p_i = S_i dp_i ln(1/p_i) = 0
S_ip_i = 1 или S_idp_i = 0
S_i E_i p_i = <E> = const или S_i E_i dp_i = 0
Используя метод Лагранжа для нахождения условного экстремума, находим:
S_i (-ln p_i + a*E_i + b)dp_i = 0
где a, b - множители Лагранжа. Отсюда:
-ln p_i = -a*E_i - b
p_i = A₁ Exp( - A₂*E_i)
где A₁, A₂ - некоторые константы. Из наложенных условий следует:
A₂ = 1/T (постоянный множитель как всегда опущен:))

     English  Беларуская  Русский