Статыстыка, працэсы дыффузіі ды Броўнаўскі рух

Працэсы дыффузіі ды Броўнаўскі рух

Разгледзім Броўнаўскі рух часьцінак у ідэальнай газе нейкіх іньшых часьцінак, такі, што канцэнтрацыя першых даволі малая, і можна разглядаць іх рух як сэрыю выпадковых перамяшчэньняў. Гэта значыць, што пры разліках Броўнаўскага руху першых часьцінак можна ўлічваць ўзаемадзеяньне толькі зь часьцінкамі іншага сорту і разьмеркаваньне апошніх лічыць раўнамерным. З такіх умоў вынікае, што ўсе кропкі прасторы роўныя для часьцінак першага сорту. Значыць, можна апісаць рух усіх часьцінак з зафіксаваным зыходным становішчам у тэрмінах умоўнай імавернасьці, улічваючы ўсе магчымыя шляхі. (Статыстычныя інтэгралы па траекторыях)

Высьветлім, як сярэдні квадрат адлегласьці паміж зыходным і канчатковым становішчамі часьцінкі залежыць ад часу. (Відавочна, што сярэдні радыус-вектар часьцінкі роўны нулю з прынцыпаў сімметрыі):
r² = е_i,jr_ir_j = е_ir_i² + е _i№ j r_ir_j
Апошняя сума роўная нулю, таму што ўсе перамяшчэньні статыстычна незалежныя. Канчаткова:
<r²> = n*<D r²> = <D r²>*t /<D t>
Тут <D r²> - сярэдняя даўжыня вольнага прабегу і <D t> - сярэдняя працягласьць вольнага прабегу. Дзеля прастаты запішам гэтыя суадносіны так:
<r²> = At
дзе A ёсьць нейкай канстантай.

Канчаткова, інтэгральныя ўмовы для імавернага размеркаваньня часьцінак у прасторы:
p(r,t) = т...т p(D r₀,D t₀) p(D r₁,D t₁)... p(D r_n,D t_n) dr₁dr₂...dr_n-1
дзе
е_i D r_i = r - r₀,  е_i D t_i = t - t₀,
dr - элемент аб'ему і n - колькасьць улічваемых магчымых шляхоў. Яна павінна імкнуцца да бясконцасьці.

Адно з магчымых рашэньняў гэтых інтэгральных роўнасьцяў ёсьць:
p(r) = B*Exp(C*(r - r₀)²)
Тут A і B могуць быць атрыманыя з умоваў нарміроўкі і атрыманай роўнасьці для сярэдняга квадрату адлегласьці:
p(r) = (1/pAt)Exp(-r²/At)
І менавіта гэтае рашэньне задавальняе нашым інтэгральным умовам! (Гэта можна лёгка праверыць, вылічыўшы толькі два інтэгралы. Паспрабуйце вылічыць:
т (1/pAD t₁)Exp(-(r₀ - r₁)²/(AD t₁)) (1/pAD t₂)Exp(-(r₁ - r₂)²/(AD t₂)) dr₁)

Існуе іньшы падыход да апісаньня дыффузіі. Дыффузійная роўнасьць для выпадку невялікіх канцэнтрацыяў:
nv = D*grad n
дзе n - канцэнтрацыя, v - сярэдняя хуткасьць скіраванага руху газы і D - канстанта дыффузіі. Роўнасьць неразрыўнасьці ёсьць:
div nv + dn/dt = 0
З першых дзьвух роўнасьцяў атрымліваем:
DDn + dn/dt = 0
Тут D - апэратар Лапласа. Функцыі кшталту
p(r) = (1/pAt)Exp(-r²/At)
ёсьць функцыямі Грына атрыманай роўнасьці - яго рашэньні з дэльта-функцыяй у якасьці пачатковых умоваў. У нашым выпадку ўсе часьцінкі напачатку знаходзяцца у адной кропцы, і іхнім разьмеркаваньнем ёсьць дэльта-функцыя!

Мадэль Броўнаўскага руху Brownian.zip

Тэорыя працяканьня

Разгледзім крышталь з дэфектамі крышталічнай структуры. Калі электрычны ток ня можа праходзіць праз дэфект, то існуе нейкая крытычная канцэнтрацыя дэфектаў, пасьля перавышэньня якой крышталь становіцца няправодзячым. Гэта значыць, што знікаюць кластэры праводзячых вузлоў з бясконцымі памерамі. Тады паблізу крытычнай канцэнтрацыі невялікія змены канцэнтрацыі вядуць да агромністых зменаў у праводнасьці. Галоўная задача тэорыі працяканьня - вызначыць гэтую крытычную канцэнтрацыю для розных канфігурацыяў крышталічнай структуры. Існуе цікавы эфект - калі канцэнтрацыя блізкая да крытычнай, кластэры праводзячых вузлоў ўтвараюць фрактальныя структуры. Для квадратнай 2D сеткі крытычная канцэнтрацыя - 0.41, для кубічнай 3D сеткі - 0.69

Праграмныя коды для дасьледваньня і назіраньня 2D ды 3D крышталяў, а таксама праграма для дасьледваньня вынікаў эксперыментаў (вызначэньне крытычнай канцэнтрацыі, гл.Мэтад найменьшых квадратаў) Percol.zip

Выцяканьне газы ў вакуум

Разгледзім кантэйнер, напоўнены ідэальнай газай. У кантэйнеры ёсьць невялічкая адтуліна, і газа выцякае з яго даволі павольна. Вызначым, як тэмпература газы змяняецца з цягам часу. Усе парамэтры статыстычнай сістэмы могуць быць зададзены пэўнай функцыяй размеркаваньня. Напрыклад, калі патрэбным параметрам ёсьць модуль хуткасьці часьцінак газы, тады колькасьць часьцінак газы з хуткасьцямі ад v да v + dv ёсьць:
dN = N*f(v)*dv
дзе N - агульная колькасьць часьцінак у газе. Відавочна, што
тf(v)dv = 1
Функцыя f(v) змяняецца з цягам часу. Сярэдняя хуткасьць часьцінак газы ёсьць:
<v> = тvf(v)dv
Сярэдні квадрат хуткасьці ёсьць:
<v²> = тv²f(v)dv
Гэтая велічыня можа разглядацца як тэмпература газы, таму што кінетычная энергія часьцінак у клясычнай механіцы прапарцыянальная квадрату хуткасьці, і тэмпература прапарцыянальная сярэдняй кінетычнай энергіі часьцінак сістэмы. З-за адтуліны колькасьць часьцінак зьмяншаецца, і змяненьне колькасьці часьцінак з хуткасьцямі ад v да v + dv ў часе ёсьць:
d(dN)/dt = - dN*S*v/(4*V)
дзе S - плошча адтуліны і V - аб'ем кантэйнера. Камбінуючы усе роўнасьці, можна атрымаць такую роўнасьць для f(v):
df(v)/dt = - A*f(v)*(v - <v>)
дзе A = V/(4*S). Відавочна, што колькасьць часьцінак з большымі хуткасьцямі змяншаецца хутчэй, і максімум функцыі размеркаваньня f(v) рухаецца ў напрамку меньшых хуткасьцяў. Сярэдняя хуткасьць і сярэдні квадрат хуткасьці (тэмпература) таксама зьмяншаюцца. Гэта даволі цікавы статыстычны эфект - газ у кантэйнеры астывае, але на яго часьцінкі ня ўзьдзейнічаюць ніякія сілы, што маглі б зьмяніць іхнюю хуткасьць! Таксама відавочна, што найраспаўсюджанае разьмеркаваньне Максвэла ня можа быць рашэньнем атрыманай роўнасьці. У гэтым няма анічога дзіўнага - разьмеркаваньне Максвэла ёсьць разьмеркаваньне для статычных сістэмаў, якой нашая сістэма ня з'яўляецца.

Праграма, якая мадэлюе працэс выцяканьня газа ў вакуум і вылічае тэмпературу газа як функцыю часу  Gas.zip

Энтрапія

Энтрапія ёсьць мерай хаатычнасьці адвольнай статыстычнай сыстэмы. Агульнае вызначэньне энтрапіі заснаванае на функцыі размеркаваньня статыстычнай сістэмы, але не dS = DQ/T, што найчасьцей выкарыстоўваецца для вызначэньня энтрапіі:
S = S_i p_i ln(1/p_i)
дзе p_i - імавернасьці статыстычна незалежных здарэньняў 1..i. Гэтае вызначэньне можа быць прымененае як да "цеплавых" з'яў, так і да тэорыі кадзіраваньня інфармацыі. Цікава было б правесьці такі эксперымент:

Зьмяшчаем кампутар у тэрмастат. Запаўняем жорсткі дыск выпадковымі дадзенымі і вылічаем ягоную энтрапію, выкарыстоўваючы функцыю размеркаваньня для значэньняў асобных байтаў. Архівіруем дадзеныя. Вымяраем цеплыню Q, выдзеленую працэсарам, ды ягоную тэмпературу T. Зноўку вылічаем энтрапію жорсткага дыска. Ці роўна Q/T зьмяненьню энтрапіі жорсткага дыску? ;))) Мабыць, гэта залежыць ад магутнасьці працэсара :))))

Спраўдзім вядомыя роўнасьці для энтрапіі:
(i) dS = DQ/T
(ii) S = ln N
дзе DQ - бясконца малая колькасьць цеплаты, T - тэрмадынамічная тэмпература, N - колькасьць мікрастанаў у дадзеным энергетычным стане. Формула (i) - асобны выпадак агульнай формулы для раўнаважнага размеркаваньня Гібса. Для гэтага размеркаваньня
p_i = A*Exp(-b*E_i)
дзе b = 1/(kT), E_i - энергія сыстэмы ў стане i, A = 1/(S_i Exp(-b*E_i))
Пасьля пэўных матэматычных выкладак атрымліваем з дадзенага размеркаваньня і агульнай формулы:
dS = (<E²> - <E>²)b*db (*)
Трэба заўважыць, што ўсе E_i ёсьць канстантамі. Згодна з законам захаваньня энергіі:
d(<E>) = DQ(**)
Вылічыўшы d(<E>), атрымліваем:
d(<E>) = (<E²> - <E>²)*db
Параўноўваючы атрыманае, (*) і (**), спраўджваем пачатковую формулу:
dS = DQ/T (пастаянны памнажальнік k тут ня ўлічваецца; ён залежыць толькі ад выбранай сыстэмы адзінак).
Формула (ii) элементарна вылічаецца з дапамогай эргадычнай гіпотэзы і тэарэмы Ліувіля. Згодна з імі, усе мікрастаны у дадзеным энергетычным стане роўнаімаверныя, таму:
p_i = 1/N,   i=1..N
Відавочна
S = ln N (пастаянны памнажальнік таксама ня ўлічваецца)

Канчаткова, выведзем раней ўжо выкарыстанае размеркаваньне Гібса. Энтрапія дасягае максімальнай велічыні ў раўнаважным стане (а менавіта такі стан з'яўляецца найбольш імаверным ў фізычных з'явах). Каб вызначыць знаходжаньне кропкі экстрэмума, будзем вар'іраваць усе імавернасьці з дадатковымі ўмовамі, што вынікаюць з вызначэньня імавернасьці і закона захаваньня энергіі:
dS = S_i d(p_i ln(1/p_i)) = S_i dp_i ln(1/p_i) + S_i p_i dp_i/p_i = S_i dp_i ln(1/p_i) = 0
S_ip_i = 1 ці S_idp_i = 0
S_i E_i p_i = <E> = const ці S_i E_i dp_i = 0
Выкарыстоўваючы мэтад Лагранжа для знаходжаньня ўмоўнага экстрэмума, знаходзім:
S_i (-ln p_i + a*E_i + b)dp_i = 0
дзе a, b - множальнікі Лагранжа. Адсюль:
-ln p_i = -a*E_i - b
p_i = A₁ Exp( - A₂*E_i)
дзе A₁, A₂ - некаторыя канстанты. З дадатковых ўмоваў вынікае:
A₂ = 1/T (пастаянны множальнік як заўсёды ня ўлічаны:))

     English  Беларуская  Русский