Шматмерныя дыфферэнцыяльныя роўнасьці ды раскладаньні

Напачатку нагадаем некаторыя дыфферэнцыяльныя вектарныя аператары:

• grad (градыент) - кірунак ды велічыня ўзрастаньня функцыі
• div (дывергенцыя) - паток вектара праз вельмі маленькую абалонку, падзелены на аб'ём гэтай абалонкі (напрыклад, паток вектара хуткасьці вадкасьці мае вельмі просты сэнс)
• rot (ротар)- цыркуляцыя вектара па вельмі маленькаму контуру, падзеленая на ягоную плошчу

• div(fA) = f*div(A) + A*grad(f)
• rot(fA) = f*rot(A) - [grad(f),A]
• div([A,B]) = B*rot(A) - A*rot(B)
• rot(grad(f)) = 0
• div(rot(A)) = 0
• grad(a*b) = a*grad(b) + b*grad(a)

Роўнасьці Лапласа ды Д'Аламбера

Найбольш распаўсюджаная - роўнасьць Лапласа (альбо роўнасьць Пуассона як больш агульны від роўнасьці). Гэтыя роўнасьці выведзеныя для такіх палёў:

• электрастатычнве поле
• поле тэмпературы
• поле ціску
• поле "патэнцыялу хуткасьці" ў гідрадынаміцы
• і шмат іншых, дзе div(grad(f))=g(x,y,z)

Калі поле замяняецца матрыцай (напрыклад, A_ij), роўнасьці Лапласа ды Пуассона маюць такі выгляд:
(A_ij - A_ij-1) + (A_ij - A_ij+1) + (A_ij - A_i-1j) + (A_ij - A_i+1j) = C_ij
дзе C_ij - матрыца шчыльнасьці (для роўнасьці Лапласа, C_ij =0). Такім чынам, роўнасьць рашаецца заданьнем ўмоваў на мяжы вобласьці ды атрыманьнем на кожнай ітэрацыі новага значэньня [i,j]-га элемента:
A_ij = (C_ij + A_ij-1 + A_ij+1 + A_i-1j + A_i+1j)/4
На кожнай новай ітэрацыі будзе дасягацца лепшая дакладнасьць.

Роўнасьць Д'Аламбера - роўнасьць бягучых хваляў, вельмі падобная на роўнасьць Лапласа і яе можна рашаць і ў комплекснай прасторы Мінкоўскага, і мадэлюючы пругкую прастору наборам часьцінак, што рухаюцца па законах Ньютана.

Тэкст праграмы, што рашае роўнасьць Лапласа Laplas.pas ды праграма, што мадэлюе пругкую паверхню Waves.pas.

Ад вектараў ды матрыцаў да шматмерных функцыяў,
ад раскладаньня па базісу да раскладаньня Фур'е

Мы можам проста абагульніць ўсе метады матрычнай альгебры на функцыі.
Скалярнае памножаньне ёсьць:
"Памножаньне вектара на матрыцу":
Базісная функцыя артаганальная, калі
Як бачыце, раскладаньне Фур'е - толькі перавод функцыі як "вектара" ў іншы базіс. Зараз формула для раскладаньня амаль відавочная:

Вы можаце праверыць, ці з'яўляецца "базісная функцыя" f(w,t) = e^iwt артаганальнай.

Выпадковыя працэсы

Выпадковыя працэсы, што задаюцца функцыяй Random ў Delphi - так званы "белы шум" зь раўнамерна разьмеркаваным спэктрам. Найбольш простая мадэль працэса зь нераўнамерным спектрам мадэль Лоранца, заснаваная на паводзінах вадкасьці ў кальцавой трубе, што падаграецца зьнізу. Яна задаецца такой сыстэмай дыфферэнцыяльных роўнасьцяў:

Я выкарыстоўваў парамэтры a=10 b=30 c=2.667. Іншая мадэль - лямпавы гэнератар зь нелінейным элементам (танэльны дыёд, напрыклад). Яна задаецца такой сыстэмай дыфферэнцыяльных роўнасьцяў: (для гэнератара прынятая мадэль Ван-Дэр-Поля):

дзе f(x) - вольт-амперная характарыстыка дыёда.

Вольт-амперная характарыстыка павінна мець такую "яміну" каб працэсы былі выпадковымі.

Тэкст праграмы на мадэль Лоранца Random.pas

Раскладаньне Фур'е

Раскладаньне Фур'е (гл. p. 2) на кампутары задаецца такімі формуламі:

Яно выкарыстоўваецца, напрыклад, для зьцісканьня гукавых файлаў.

Прыклад праграмы Fourier.pas

Гукаапрацоўка

Была напісаная простая гукаапрацоўваючая праграма, каб прадэманстраваць ўсё гэта. Гэта дэманстрацыйная праграма, таму можна працаваць толькі з мона ".wav" файламі, таксама нелга выкарыстоўваць вялікія літары ў Formulae Generator ды маленькія літары ў Rhythm Composer. Formulae Generator падтрымлівае такія функцыі (Generator 1):

• sin(t),cos(t) - гарманічныя функцыі
• rcn(t) - меандр зь перыядам 1
• ran(t) - трохкутны сігнал зь перыядам 1
• sqr(t) - квадратны корань (калі t<0,sqr(t)=0)
• rand(x) - выпадковы працэс ўзроўню x
• amp(t) - амплітуда ў час t
• exp(t), ln(t) - лагарыфмічная ды экспаненцыяльная функцыі

Тэкст праграмы Sound.zip

     English  Беларуская  Русский