Асновы вектарнай ды матрычнай альгебры

Дыфферэнцыяльныя роўнасьці ды раскладаньні

Асноўныя апэрацыі на вектарах ды матрыцах

Даданьне ды адыманьне вектараў ды матрыц - проста даданьне ды адыманьне адпаведных элементаў. Множаньне вектараў мае два тыпы: вектарнае памнажэньне, дзе вынік - вектар, ды скалярнае памнажэньне, дзе вынікам ёсьць лік. Скалярнае памнажэньне моцна зьвязанае зь зь канцэпцыяй базісу ў шматмернай прасторы і вынікам мае праекцыю аднаго ветара на другі. Яно задаецца формулай:

Тут прынятае простае правіла: калі нейкі індэкс ўваходзіць ў выраз некалькі разоў, маецца на ўвазе даданьне па гэтаму індэксу.

Заўважце, што ў прасторы з трыма вымярэньнямі такое памножаньне патрабуе 2 вектары, але ў прасторы зь N вымярэньнямі патрабуецца N-1 вектараў, але скалярнае памножаньне заўсёды патрабуе толькі 2 вектары.

Найбольш агульная форма лінейнай залежнасьці паміж вектарамі ёсьць:

Гэта завецца памножаньнем вектара ды матрыцы. Такім памножаньнем задаецца пераход зь аднаго базіса ў іншы, ды элементамі матрыцы ёсьць скалярнае памножаньне кожнага вектара першага базіса на кожны вектар другога базіса:

Матрыца завецца сымвалам Кранекера, альбо адзінкавай матрыцай. Відавочна, што
A_iE_ij = A_j

Калі патрэбна перавесьці вектар спачатку ў адзін базіс, а потым ў другі, мы павінны памножыць зыходны вектар на матрыцы гэтых пераходаў. Вынік можа разглядацца як вынік памножаньня зыходнага вектара на матрыцу, якая ёсьць памножаньнем дадзеных дзьвух матрыцаў. Такім чынам, вынік памножаньня дзьвух матрыцаў ёсьць матрыцай тых жа памераў, якая задаецца формулай:

Матрыца B_ij = A_ji завецца матрыцай, транспанаванай да A.

Тэкст модуля, што ўтрымлівае асноўныя апэрацыі на вектарах ды матрыцах Matrix.pas.

Дэтэрмінанты, зваротныя матрыцы ды дзяленьне на матрыцу.

Ў прасторы зь трыма вымярэньнямі плошча паміж дзьвума вектарамі ёсьць:
S = [A,B]
Аб'ём паміж трыма вектарамі ёсьць скалярнае памножаньне вектара плошчы паміж першымі дзьвумя вектарамі на трэці вектар S on the third vector: V = C*S, альбо

Ў прасторы зь N вымярэньнямі "N-мерны аб'ём" паміж N вектарамі вылічаецца як дэтэрмінант:

Дэфініцыя дэтэрмінанта даецца праз рэкурсію: дэтэрмінант N-мернай матрыцы ёсьць сумма па ўсіх і памножаньняў i'га элемента першай стракі на дэтэрмінант зыходнай матрыцы без першай стракі ды i'га стаўбца. Памятайце, што трэба зьмяняць знак дададзеных на кожным новым стаўбцы.

Некаторыя ўласьцівасьці дэтэрмінанта:

• Дэтэрмінант ня зьмяняецца пры транспанаваньні
• Дэтэрмінант зьмяняе знак пры перастаноўцы дзьвух строк альбо стаўбцоў
• det(A*B) = det(A)*det(B)
• det(A^-1) = det(A)^-1
• Калі базіс, зададзены матрыцай A, няпоўны, det(A)=0

Паспрабуем адшукаць матрыцу A^-1 такую, што AA^-1=1 Матрыца A^-1 ёсьць:
A_ij^-1 = S_ij /det(A) дзе S_ij альгебраічным дапаўненьнем [i,j]га элемента - дэтэрмінантам зыходнай матрыцы без i-га стаўбца ды j-й стракі, знак якога зьмяняецца на кожным наступным стаўбцы. Матрыца A^-1 завецца зваротнай матрыцай. Памножаньне AB^-1 завецца дзяленьнем А на В. Памножаньне ды дзяленьне матрыцаў ёсьць даданьнем ды адыманьнем пераходаў. Напрыклад, калі вектар пераведзены ў іншы базіс памножаньнем на матрыцу A, ён можа быць пераведзены зваротна ў зыходны базіс памножаньнем на матрыцу A^-1.

Тэкст працэдуры, што вылічае дэтэрмінант Determinant.pas ды тэкст модуля, што ўтрымлівае асноўныя апэрацыі на вектарах ды матрыцах Matrix.pas.

Прыкладаньне матрычнай алгебры ў 3D-графіцы

Найбольш складаныя задачы 3D-графікі - павароты ў прасторы ды эмуляцыя асьвятленьня.

Павароты ажыцьцяўляюцца зь выкарыстаньнем сферычнай сыстэмы каардынатаў. Ў ей вельмі проста варочаць аб'екты. Гэта робіцца так:

1. Атрымліваеце павёрнуты артаганальны базіс ў сферычнай сыстэме каардынатаў
2. Пераводзіце кожны вектар ў дэкартавыя каардынаты, выкарыстоўваючы формулы:
   x = R*cos(v)*cos(h)
   y = R*cos(v)*sin(h)
   z = R*sin(v)
   дзе v і h - гарызантальная ды вертыкальная вуглавыя каардынаты.
3. З атрыманага базіса ўтвараеце матрыцу
4. Дамнажаеце ўсе вектары аб'екта на гэтую матрыцу
5. Малюеце сцэну нанава

Эмуляцыя асьвятленьня заснаваная на залежнасьці паміж інтэнсіўнасьцямі падаючага ды адбітага сьвятла, што задаецца формулай:
I(a) = I₀*cos(a), альбо, выкарыстоўваючы вектары I = L*n,
дзе a - вугал паміж промнем сьвятла ды паверхняй, L ёсьць "вектар сьвятла"
ды n - адзінкавы вектар, перпендыкулярны да паверхні.

Кожны віртуальны 3D-аб'ект складаецца зь шматграньнікаў (няхай для прастаты гэта будуць трохкутнікі). Каб асьвятліць абэект, мы павінны вылічыць колер кожнага шматграньніка. Калі нам зададзеныя каардынаты ўсіх кропак шматграньнікаў, эмуляцыя асьвятленьня ажыцьцяўляецца ў некалькі крокаў:

1. Атрымліваем вектары дзьвух бакоў кожнага трохкутніка (гл. малюнак)
2. Вектарным памножаньнем атрымліваем вектар, перпендыкулярны да паверхні
3. Робім гэты вектар адзінкавым і атрымліваем адзінкавы вектар, перпендыкулярны да паверхні (n).
4. Скалярным памножаньнем n на вектар сьвятла (ягоны кірунак - кірунак прамянёў ды ягоная даўжыня прапарцыянальная інтэнсіўнасьці сьвятла) атрымліваем інтэнсіўнасьць адбітага сьвятла.

RGB-кампаненты колера зыходнага трохкутніка прапарцыянальныя інтэнсіўнасьці адбітага сьвятла.

Шматмерныя дыфферэнцыяльныя роўнасьці ды раскладаньні

Напачатку нагадаем некаторыя дыфферэнцыяльныя вектарныя аператары:

• grad (градыент) - кірунак ды велічыня ўзрастаньня функцыі
• div (дывергенцыя) - паток вектара праз вельмі маленькую абалонку, падзелены на аб'ём гэтай абалонкі (напрыклад, паток вектара хуткасьці вадкасьці мае вельмі просты сэнс)
• rot (ротар)- цыркуляцыя вектара па вельмі маленькаму контуру, падзеленая на ягоную плошчу

• div(fA) = f*div(A) + A*grad(f)
• rot(fA) = f*rot(A) - [grad(f),A]
• div([A,B]) = B*rot(A) - A*rot(B)
• rot(grad(f)) = 0
• div(rot(A)) = 0
• grad(a*b) = a*grad(b) + b*grad(a)

Роўнасьці Лапласа ды Д'Аламбера

Найбольш распаўсюджаная - роўнасьць Лапласа (альбо роўнасьць Пуассона як больш агульны від роўнасьці). Гэтыя роўнасьці выведзеныя для такіх палёў:

• электрастатычнве поле
• поле тэмпературы
• поле ціску
• поле "патэнцыялу хуткасьці" ў гідрадынаміцы
• і шмат іншых, дзе div(grad(f))=g(x,y,z)

Роўнасьць Д'Аламбера - роўнасьць бягучых хваляў, вельмі падобная на роўнасьць Лапласа і яе можна рашаць і ў комплекснай прасторы Мінкоўскага, і мадэлюючы пругкую прастору наборам часьцінак, што рухаюцца па законах Ньютана.

Ад вектараў ды матрыцаў да шматмерных функцыяў,
ад раскладаньня па базісу да раскладаньня Фур'е

Мы можам проста абагульніць ўсе метады матрычнай альгебры на функцыі.
Скалярнае памножаньне ёсьць:
"Памножаньне вектара на матрыцу":
Базісная функцыя артаганальная, калі
Як бачыце, раскладаньне Фур'е - толькі перавод функцыі як "вектара" ў іншы базіс. Зараз формула для раскладаньня амаль відавочная:

Вы можаце праверыць, ці з'яўляецца "базісная функцыя" f(w,t) = e^iwt артаганальнай.

     English  Беларуская  Русский