Многомерные дифференциальные уравнения и преобразования полей

Сначала - векторные дифференциальные операторы:

• grad (градиент) - направление и величина наибыстрейшего возрастания функции
• div (дивергенция)- поток вектора через очень маленькую оболочку, разделенный на ее обьем (например, поток вектора скорсти жидкости имеет ясный физический смысл)
• rot (ротор) - циркуляция вектора по очень маленькому контуру, разделенная на его площадь

• div(fA) = f*div(A) + A*grad(f)
• rot(fA) = f*rot(A) - [grad(f),A]
• div([A,B]) = B*rot(A) - A*rot(B)
• rot(grad(f)) = 0
• div(rot(A)) = 0
• grad(a*b) = a*grad(b) + b*grad(a)

Уравнения Лапласа и Д'Aламбера

Наиболее распространено уравнение Лапласа (или уравнеие Пуассона как более общий тип уравнений). Это уравнения таких полей:

• электростатического поля
• стационарного поля температуры
• поля давления
• поле "потенциала скорости" в гидродинамике
• и многих других, где div(grad(f))=g(x,y,z)

Когда поле аппроксимируется матрицей (например, A_ij), уравнения Лапласа и Пуассона имют такой вид:
(A_ij - A_ij-1) + (A_ij - A_ij+1) + (A_ij - A_i-1j) + (A_ij - A_i+1j) = C_ij
где C_ij - матрица плотности (Для уравнения Лапласа C_ij =0). В таком приближении уравнение решается последовательным нахождением новых значений для элементов матрицы как:
A_ij = (C_ij + A_ij-1 + A_ij+1 + A_i-1j + A_i+1j)/4
Точность решения растет с увеличением числа итераций.

Уравнение Д'Aламбера - уравнение для бегущих волн, очень похожее на уравнение Лапласа, и его можно решать как уравнение Лапласа в комплексном пространстве Минковского или аппроксимируя среду набором дискретных элементов, движущихся согласно законам Ньютона.

Пример решения уравнения Лапласа Laplas.pas и моделирования волн на упругой поверхности (уравнение Д'Aламбера) Waves.pas.

От матриц и векторов к многомерным функциям,
от разложения по базису к разложению Фурье

Все методы матричной алгебры элементарно обобщаются на функции.
"Скалярное умножение" функций:
"Умножение вектора на матрицу":
Базисная функция ортогональна если
Как видно, разложение Фурье - только преобразование функции как "вектора" к другому базису. Сейчас разложение Фурье почти очевидно:

Можно доказать, что "базисная функция" f(w,t) = e^iwt ортогональна.

Случайные (стохастические) колебания

Случайные колебания, получаемые при помощи функции Random в Delphi - так называемый "белый шум" с равномерным спектром. Наиболее распространенная модель для случайных колебаний с неравномерным спектром - модель Лоренца. В ее основе - поведение жидкости в кольцевой трубе, подогреваемой снизу и охлаждаемой сверху. Модель задается такой системой дифференциальных уравнений:

Я использовал параметры a=10 b=30 c=2.667. Еще одна модель для стохастических колебаний - ламповый генератор с нелинейным элементом (тоннельный диод, например). Она задается такой системой дифференциальных уравнений (для генератора принята модель Ван-Дер-Поля):

где f(x) - вольт-амперная характеристика диода.

Наличие "ямы" обязательно для возбуждения стохастических колебаний.

Пример на модель Лоренца Random.pas

Разложение Фурье

Разложение Фурье задается такими преобразованиями (см p. 2). На практике эти преобразования имеют такой вид:

Они могут быть использованы, например, для сжатия звуковых файлов.

Пример Fourier.pas

Звукообработка

Простая демонстрационная программа была написана для иллюстрации всего вышесказанного. Из-за ограниченности возможностей программы можно работать только с моно ".wav" файлами, также нельзя использовать заглавные буквы в Formulae Generator и прописные в Rhythm Composer. В Formulae Generator используются такие функции (Generator 1):

• sin(t),cos(t) - гармонические функции
• rcn(t) - прямоугольный сигнал с периодом 1
• ran(t) - треугольный сигнал с периодом 1
• sqr(t) - квадратный корень (если t<0,sqr(t)=0)
• rand(x) - случайный сигнал уровня x
• amp(t) - амплитуда в момент времени t
• exp(t), ln(t) - логарифмическая и экспоненциальная функции

Текст программы Sound.zip

     English  Беларуская  Русский