Трехконцовая струна

Трехконцовая струна - простейший пример нетривиальной топологии, так называемого расслоения, который может рассматриваться как аналогия для намного более сложных физических систем с нетривиальными топологическими структурами. Такие модели часто используются в различных областях теоретической физики (физика элементарных частиц, квантовая теория гравитации). Трехконцовая струна - три струны, у которых каких-либо три конца соединены без нарушения структуры струн.

В струне с одним закрепленным концом волны описываются такими функциями:
f(x,t)=A(Sin(wt-kx) - Sin(wt+kx))  или
f(x,t)=A*Cos(wt + q)Sin(kx)   (*)
В случае трехконцовой струны мы должны наложить дополнительные краевые условия на соединенных концах струн. Это, естественно, равенства амплитуд и условия гладкости функций в точке соединения:
f(l₁,t) = f(l₂,t) = f(l₃,t)
где l₁, l₂, l₃ - длины каждой из струн.
df(x₁,t)/dx₁ + df(x₂,t)/dx₂ + df(x₃,t)/dx₃ = 0
или, подставляя (*):
A₁Sin(kl₁) = A₂Sin(kl₂) = A₃Sin(kl₃)
A₁Cos(kl₁) + A₂Cos(kl₂) + A₃Cos(kl₃) = 0
Из этих равенств можно определить собственные длины волн нашей системы. Они определяются как решения следующего уравнения, которое является следствием предыдущих двух:
Sin(kl₁)Sin(kl₂)Cos(kl₃) + Sin(kl₃)Sin(kl₁)Cos(kl₂) + Sin(kl₂)Sin(kl₃)Cos(kl₁) = 0
Для l₁ = l₂ = l₃ = l :
3*Sin²(kl)Cos(kl) = 0. Отсюда
k_n = pi*n/l, k_n = pi*(n + 1/2)/l

Delphi-проект - real-time эмулятор трехконцовой струны. Если ваш компьютер слишком быстрый;)) измените константы FPS.
String.zip